地震力到底是怎么算出来的——多自由度体系的振型分解反应谱法

来源：知乎

作者：猪小宝

上一篇我们讨论了如何从各振型的最大值估算组合之后的最大值。掌握了这个估算的方法，我们就可以把我们早已得出的反应谱利用起来，代替繁复的时程分析。这也就是我们常说的振型分解反应谱法。

还是我们的三层小房子，我们已经得到了特征矩阵和振型参与系数。

在 part.11 里我们从参与系数和特征矩阵出发，得到了振型的组合系数。

同时，我们还知道这个三层房子的三个自振周期：

在 part.6 里，我们利用反应谱求出了对应于第一周期的地震影响系数。也就是反应谱中横坐标对应0.547秒，纵坐标为 0.134。

同样的道理，我们可以得到对应第二周期和第三周期的地震影响系数。

也就是说，对应三个自振周期，我们得到了三个地震影响系数。

下一步，我们就可以得出各个振型的地震作用力。

对于第一振型，我们已经知道了下面这些东西：

第一振型的地震作用力，就是

看起来挺复杂，其实就是把地震影响系数、组合系数、各楼层的重力相乘，也就是

第一振型的地震作用力，就是一层 215 千牛、二层 387 千牛、三层 482 千牛。

同样的道理，我们可以得到第二振型、第三振型的楼层地震力。

到这一步，我们已经得到了三个振型的楼层地震力。

我们已经说过好几次，如何从楼层地震作用力得到楼层地震剪力。各个振型的楼层地震剪力是这样的：

接下来，我们上一篇讲的 ABS、SRSS、CQC 三种方法就派上用场了。

对于一层的地震剪力，第一振型 1083、第二振型 106、第三振型 16，ABS 的组合结果是 1205，SRSS 的结果是 1088，CQC 的结果是1090。

同样的道理，我们也能得到二层和三层的地震剪力。
注意到，在 part.6 里我们用简化的地震剪力法也求得了各楼层的地震剪力。我们把这些结果列在同一个表格里，做一个比较：

ELFM 其实也就是底部剪力法，Modal Analysis 是振型分解，振型组合的方法有三种，分别是 ABS、SRSS、CQC。注意到 SRSS 和 CQC 结果比较接近，而且它们两者的结果要比底部剪力法和 ABS 的结果小一些。

在我们这个小例子里，楼房只有三层，并且只考虑一个方向的地震。我们在之前说振型的意思的时候也说了，三层楼房实际的振型至少有9个，因为每一层都可以南北方向、东西方向、上下方向运动。对于30层、50层的高层建筑，那振型的数量就更多了。但是，我们也注意到，越是排在后面的振型，对于最终结果的影响越小，有时候甚至小到可以忽略不计。那么我们如何考虑这些振型呢？什么时候可以省略？什么时候不应该省略呢？

我们在 part.9 里提到了有效参与质量的概念，也就是各个振型的 Mstar。

第一振型的有效质量占了 91.4%，第二振型占 7.5%，第三振型 1.1%，三者加起来等于 100%。

如果都采用 SRSS 组合，我们可以看一下如果我们只考虑第一振型、第一加第二振型、第一加第二加第三振型的结果。

以底层剪力来看，只考虑第一振型，地震剪力为 1083；考虑进第二振型，地震剪力为 1088；再考虑上第三振型，还是 1088。也就是说，第三振型几乎没有任何作用。

通常来说，判断的标准是有效质量总和超过90%。在我们的例子里，第一振型 91.3%，已经超过了 90%，所以，简化计算的话，我们只考虑第一振型就足够了。

比较一下只考虑第一振型的数值，和三个振型都考虑之后 SRSS 的结果，第一层、第二层的地震剪力误差不超过 0.5%，第三层剪力误差大约 4%。

如果第一振型 60%，第二振型 32%，第三振型 8%，为了达到有效质量总和超过 90%，我们就必须得考虑第一振型加第二振型。这两者有效系数之和为 92%，超过了 90%。这时候，第三振型就可以忽略不计。

对于更多振型的情况也都是如此，从第一振型开始累加，直到超过 90% 为止，后面的振型就可以忽略不计，因为后面这些振型的作用实在太小，几乎不会对结果造成什么影响。

这就是振型分解反应谱法的全过程。既利用振型分解更好的体现了结构的动力特性，同时又利用反应谱方便快捷的得到可靠的地震作用效应，相对来说，是一个合理简洁的工程实用方法。

地震力到底是怎么算出来的，到这里说的已经差不多了。下一篇，我就举一个小例子，从工程实例的角度出发，看一下抗震设计的大致步骤。

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