地震力到底是怎么算出来的——振型组合的实用方法

来源：知乎

作者：猪小宝

我们前一篇说了振型分解的时程分析。时程分析虽然好，但是缺点也很明显，就是实在太麻烦了。为了进行时程分析，我们必须求出每一个时刻、每一个振型的地震响应，这个计算量实在太大了。有没有什么简便方法呢？

注意到，到目前为止，我们时程分析的目的只是为了整个曲线的最大值。换言之，我们关心的只是所有的时刻里面最不利的那一个时刻，其余时刻的情况我们并不关心。事实上，简便方法我们前面已经说过了。我们用很大篇幅讨论了反应谱，其作用之一就是可以通过周期直接得出地震响应的最大值，省去了整个时程分析的全过程。

不过，在把反应谱应用到振型分析之前，我们得先解决另一个问题。因为反应谱给出的只是地震响应的最大值，并不能给出这个最大值发生的时刻。如果我们通过反应谱知道了各个振型地震响应的最大值，我们如何求得最终组合值的最大值呢？是简单的直接相加吗？

比如说，我们的这个三层房子，三个振型。我现在要看一层的地震剪力。假设我用某种神奇的方法求得了一层地震剪力各个振型的最大值，第一振型13563，第二振型674，第三振型114，问最终的一层地震剪力最大值是多少？

这位看官说了，所谓振型分解，最终结果不就是把这些振型再叠加组合起来嘛，那不就是三个数加起来嘛，等于14351。

真的如此吗？在我们上一篇求得的一层地震剪力时程分析图像上，各振型的最大值是这样的：

看出问题来了吗？各个振型的最大值很可能并不同时发生。简单的把各个振型的最大值加起来，得到的并不是组合值的最大值。

那真实的组合之后的最大值到底是多少呢？

当第一振型达到最大值13563的时刻，第二振型的值为-234，第三振型的值为-18，三者叠加起来，等于13311。这也就是我们上一篇的最终结果。跟14351相比，真实的结果要小很多。

问题就来了，我既不想做时程分析，不想知道各振型的数值结果与时刻之间的关系，但我又想得到一个相对合理的结果。也就是说，我只知道各个振型的最大值，如何求组合值的最大值？

简单说，我知道第一振型13563、第二振型674、第三振型114 这三个数据，如何能近似的求出一个接近真实结果 13311 的值？

第一种方法我们已经说过了，这种方法叫做 ABS 法，也就是 absolute 绝对值法。把各个振型最大值绝对值加起来，作为近似的组合值的最大值。

其实也就是三个数直接加起来。

ABS 法的结果等于 14350 千牛，跟时程分析得到的精确解 13311 千牛相比，ABS 法显得过于保守，比精确解要大 7.8%。原因也很好理解，事实上各个振型的最大值并不同时发生，而 ABS 法只是简单的把各振型的最大值相加，认为这些最大值都发生在同一时刻，所以结果总是保守一些。

第二种方法叫做 SRSS 法，也就是 Square Root of the Sum of the Squares。各振型的最大值平方，然后相加，然后开平方，得到的就是组合值的近似最大值。

跟时程分析得到的精确解已经很接近了，仅仅比精确解大了2%。

但是 SRSS 法也有一个缺点，如果振型与振型非常接近的话，可能得出的结果偏于不安全。比如说，假设某个结构的三个振型非常的接近，几乎同步，也就是说，各振型的最大值几乎一致，而且最大值几乎同时发生。

假设三个振型的最大值分别为 100、95、90，那么 ABS 法的结果应该为三个数加起来，等于 285。实际的精确解也应该接近于 285。但是此时 SRSS 的结果却只有 165，远远小于实际情况，得出的结果不安全。

换言之，如果振型比较同步，各振型最大值接近于发生在同一时刻，SRSS 得出的结果可能偏于不安全。那如果解决这一问题呢？解决这一问题的方法也就是所谓的 CQC 法。

所谓的 CQC，也就是 complete quadratic combination 的缩写。到底什么意思呢？

我们先看我们这个三层房子各振型的自振频率和阻尼比。

根据自振频率和阻尼比，我们得到各振型之间的影响系数。

这个系数是什么意思呢？简单说，第一行第一列表示第一振型和第一振型的影响，自己影响自己，所以是1；第一行第二列表示第一振型和第二振型的互相影响，也就是0.01103；第一行第三列代表第一振型和第三振型的互相影响，也就是 0.00683……

注意到，这个影响系数矩阵除了主对角线上的三个1之外，剩下的数值都非常小。跟1相比，通常可以忽略。如果忽略掉这些比较小的影响系数，只考虑主对角线上的三个1的话，这其实也就是 SRSS 了。各振型只跟自己有关系，自己的平方再乘以1。

如果不忽略这些比较小的数值，把它们的影响全部都考虑在内，这也就是所谓的 CQC 法，也就是 complete quadratic combination 的含义。

也就是说，这两者的区别是这样的：

CQC 是完全组合，三乘三共 9 项全加起来，然后再开方。而 SRSS 其实是简化的 CQC，只考虑其中占主导因素的 3 项，忽略掉不同振型之间的影响。

在我们这个例子里，因为各振型差异明显，没有明显的「耦合」，所以 CQC 的结果比 SRSS 的结果略大了一点点。两者都非常接近实际的时程分析的精确解。

掌握了这些方法，我们就可以从各振型的最大值得出组合之后的最大值了。下一步问题就是如何得出各振型的最大值了。这个问题其实我们也已经说过了，就是所谓的反应谱。具体是如何操作的呢？跟一层房子的反应谱相比，又有哪些不同呢？且听我们下回分解。

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