球上打洞

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球上开洞

本问题所说的球上打洞是指，假设有一个圆柱面形状的电锯（或叫电钻，我记得很早以前安装空调室外机，安装工人来家里在墙上钻孔，电锯沿着它的中轴线旋转，于是圆柱面形的坚硬钢管最终就从墙上切割出一个圆柱形的钢筋水泥柱），用它沿着球的一条直径把球钻透，当然要求这个圆柱的中轴线要通过球心。被开凿掉的部分是一个圆柱体加上两底面上各“扣上”的一个球缺。我们还可以观察用来穿项链用的珠子，感悟一下从球中打洞是怎么回事。

可以想像出，也可以从上图的珠子看出，打洞后，球体在开口方向上的高度变小了，没有直径那么高了，放在地面上也不会滚跑了。

如果我们要求对不同大小的球，所开出来的洞的高度全都一样（简图如下图所示），那么会发生什么事情？可以看出，球越大，所挖之洞的宽度或直径也越大。下图中每个球位于两条平行线（其实是两个平行平面）外侧的部分一定是被挖掉了。其实对不同大小的球，挖出相同高度的洞，就相当于先用两个平行平面把所有球对称地切掉两个球缺，然后再按照切割面大小打洞。想像一下真实球的情况。

那么，我们今天要说的是这样一个结论：这些具有相同洞高的球（其实已不是球了。原球越大，洞口越宽，剩余的部分更像是个指环），它们的体积是相同的（如果球的材质相同且均匀，那开洞后的质量是相同的）。比如说，一个直径是2cm的球，开洞后两个洞口之间的距离为1cm（相当于把球对称对切去了0.5cm厚的球缺），另一个直径为5cm的球，同样打出一个高度也为1cm的洞，那么，这两个球所剩余部分的体积是相同的。并且，这个体积就是一个直径正好等于洞的高度的球的体积（如上图最左边的那个球，它相当于打了一个直径为0的洞，也就是没有打洞）。

有的书上说，上面这种做法的结果是显而易见的。但我没有看出来。我还是用公式进行计算，才验证了这个结论的正确性。

这里用到球缺体积公式：

还要用到勾股定理：

从图中还可能看出R、H、h三者的关系：

我们先计算挖掉部分的体积，即上下两个球缺的体积加上圆柱体的体积：

所以有

即挖掉后所剩余的体积等于一个直径为H的球的体积，不管被打洞之球有多大！球越大，挖掉的越多！但剩余部分的体积总是不变。

平面上的类似问题是这样的：在平面上任何大小的圆环，只要在其内部画出的最长线段都一样长，则所有这些圆环的面积都相等。

公式太多了，那么，休息一下，点左下角点赞和阅读数左边的“阅读原文”，看个故事吧。